Nato nel 1980, Francesco Bossaglia ha studiato corno al Chicago College of Performing Arts. Durante i suoi studi si è interessato alla direzione d'orchestra e ha iniziato a studiare assistendo a tutte le prove della Chicago Symphony Orchestra, guidata dal suo allora direttore musicale Daniel Barenboim, da Pierre Boulez e da numerosi altri direttori ospiti. Questa esperienza si è rivelata preziosa ed è stata il trampolino di lancio per iniziare studi di conduzione più formali.
Dopo aver conseguito il Master in Direzione d'orchestra presso il Conservatorio della Svizzera italiana a Lugano, dove attualmente è Direttore di Orchestre e Ensemble e docente di musica da camera, ha iniziato una carriera freelance principalmente ma non solo nel campo della musica moderna e contemporanea.
Ha collaborato con la Sinfonieorchester Basel, l'Orchestra della Svizzera italiana, l'Orchestra Sinfonica Siciliana, l'Orchestra Toscanini, e dal 2012 ha uno stretto rapporto con l'Orchestra Sinfonica di Milano dove è spesso ospite. Ha lavorato come assistente direttore per Ivan Fischer e la Budapest Festival Orchestra in patria e in tournée, e ha diretto i musicisti del BFO in una serie di concerti di musica contemporanea al Festival dei due Mondi di Spoleto. Nel gennaio 2019 ha diretto l'Ensemble Resonanz in due concerti alla Filarmonica di Berlino e all'Elbphilharmonie di Amburgo, esibendosi al fianco della cantante jazz Stacey Kent. Ha anche diretto numerose produzioni operistiche, teatrali, di danza e multimediali, con musiche di Giorgio Battistelli, Arvo Pärt e Bruno Maderna, tra gli altri. Ha lavorato a stretto contatto con compositori come Sir Harrison Birtwistle, Helmut Lachenmann, John Luther Adams, Morton Subotnick e Ivan Fedele, presentando in anteprima alcune delle loro opere per festival come la Biennale di Venezia, Klangspuren Schwaz e Transart di Bolzano. Ha lavorato come assistente direttore per Peter Rundel presso l'orchestra dell'Accademia della Scala di Milano. Nel 2014 è stato selezionato per partecipare alla prima Gstaad Conducting Academy dove ha avuto l'opportunità di studiare con Neeme Järvi e Gennady Rozhdestvensky. Dalla sua fondazione nel 2007 è membro stabile dell'Orchestra Spira mirabilis, un collettivo di musicisti con cui si è esibito in alcune delle migliori sale d'Europa.