Tra le sue relazioni a lungo termine, gli inviti e i progetti discografici con le orchestre europee figurano collaborazioni con la RSB di Berlino, la NDR ElbPhilharmonie, la Gewandhaus Orchester di Lipsia, la Filarmonica della Scala, l’Orchestra Sinfonica Nazionale della RAI Torino, l’Orchestra del Teatro La Fenice di Venezia, l’Orchestre de Paris, la Danish Radio Symphony, la Prague Radio Symphony, la Mozarteum Orchester Salzburg e la Mariinsky Orchestra in Russia. Negli Stati Uniti, Axelrod ha diretto la Chicago Symphony, la Los Angeles Philharmonic e la Philadelphia Orchestra, tra le altre.
Ha debuttato con grande successo con la Bavarian Radio Symphony Orchestra. È ospite dei Festival Enescu, Salisburgo, Lucerna, Montreux Jazz e Schleswig Holstein. La sua principale attività operistica comprende titoli quali Candide di Bernstein (Théâtre du Châtelet, Teatro alla Scala e Maggio Musicale Fiorentino), Eugene Onegin al Teatro San Carlo di Napoli e Aufstieg und Fall der Stadt Mahagonny di Kurt Weill all’Opera di Roma.
Per il Festival di Lucerna, ha diretto: Rigoletto, The Rake’s Progress, Don Giovanni, Three Penny Opera, Falstaff e Idomeneo. Ha diretto Gianni Schicchi per aprire il Festival Pucciniano del 2020 ed è tornato nel 2021 per dirigere una nuova
produzione di Turandot, per la regia di Daniele Abbado. Ha registrato il principale repertorio sinfonico, nonché contemporaneo, per Sony Classical, Warner Classics, Ondine, Universal, Naïve e Nimbus, e ha pubblicato il ciclo delle Sinfonie di Brahms con l’Orchestra Sinfonica di Milano, intitolato Brahms Beloved per Telarc, prodotto dal vincitore del Grammy Michael Fine.
Si è laureato nel 1988 presso l’Università di Harvard. Formato personalmente da Leonard Bernstein nel 1982, ha anche studiato al Conservatorio di San Pietroburgo con Ilya Musin nel 1996 ed è stato mentore di Christoph Eschenbach dal 1997 al 2000, quando ha fatto il suo debutto professionale come direttore assistente per il Parsifal al Festival di Bayreuth.